1-cavalieri.mdx

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id: cavalieri
title: 平面几何大宝鉴：祖暅原理的平面几何运用
sidebar_label: Cavalieri principle in 2D geometry
tags: [Math]
date: 2019-09-25
link: https://mp.weixin.qq.com/s/15D5f4zl5FG7Azl7gcZrxg
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> 祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。
>
> 数学辞海-第六卷：中国科学技术出版社，2002

“两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等”，这也可以类比到二维中的图形面积问题：“两个同宽的图形，如在等宽处的截线段长相等，则面积相等”。或者说：两个图形夹在两平行线间，且与平行线相接，作这两条平行线间的第三条平行线 $\ell$ ，如果对于所有的 $\ell$，它在这两个图形内的部分都相等，则这两个图形面积相等。

<Figure src="/img/./docs/Science/cavalieri/JGibibkelET68EfhySWuOboVia7FJX8ehwIAicTz2be2JDN7HIibwibjrpYPP1bTCr1TrjDicauU0P6BLCgFIibZK42GCQ.png"></Figure>

比如图中，如果对于每一条平行线（用虚线表示），都有 $d_1=d_2$（也可能是若干线段长之和），那么这两个图形面积相等。

证明的方法，一是直觉上说，可以想象一个图形是由无数线段组成的，那么如果这些线段沿同一方向平移，平移出的新图形的面积就一定不会变化。

<Figure src="/img/./docs/Science/cavalieri/JGibibkelET68EfhySWuOboVia7FJX8ehwIq7rKuUtU2fmNPBsE5ZlW0U1LeeLIdNXFqDa2dr7VLFNOPleZyFAicsQ.png"></Figure>

第二种，可以通过穷竭法，用无穷多的矩形来逼近它们的面积，也可以有同样的结论，即对于任意两个和左平行线距离相等，宽度相等的矩形，由于它们的长 $d_1$ 和 $d_2$ 也相等，所以 $S_1=S_2$。同理，在任何一个位置，矩形面积也是相等的。而这些矩形的宽趋向于无穷小时，它们的面积之和便相等。

第三种，通过积分，即因为同一横坐标的 $d_1$ 都等于 $d_2$，所以有

$$
\begin{aligned}
\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int g(x)\,\mathrm{d}x
\end{aligned}
$$

其中 $f(x)$，$g(x)$ 分别等于 $d_1$，$d_2$ 在 $x$ 处的值。

可能在小学时，不少人学习过“三角形的等积变形”，即在两平行线间的三角形面积相等；而这也是此原理的一种特殊情况。

因此，我们可以用这个工具，来解决一些棘手的面积问题。比如：

<Figure src="/img/./docs/Science/cavalieri/JGibibkelET68EfhySWuOboVia7FJX8ehwINMicRNErQECUAT61ibpmzQYRMKhvmbcKXlQuNENnOZ8OFPkl66dnSsfA.jpeg">
  （来源见水印）
</Figure>

好，看到题，立刻列式：

$$
\begin{aligned}
\int_0^1\left(\sqrt{x}-x^2\right)\,\mathrm{d}x=\frac 13
\end{aligned}
$$

<p style={{ fontSize: 'large', color: 'orange', textAlign: 'center' }}>此 题 完 结</p>

但是，如果不能使用定积分，或者考试时忘了积分公式呢？WFLA 数学社为我们提供了各种各样的做法，欢迎在这里欣赏：https://mp.weixin.qq.com/s/nZMraG-AuGxzogIa3W3lRQ（虽然显然实际只展示了一种）

在文中，采用的是直接用梯形逼近的方法；如果我们想要一种更通式化的方法，还可以先用“祖暅原理推广”，把它转化为一个关于 $x$ 轴对称的二维图形：

<Figure src="/img/./docs/Science/cavalieri/JGibibkelET68EfhySWuOboVia7FJX8ehwIL0eR3P3ktCbbfFKE6SfLYE3VCfrB4nibzUkSoibdRtkOmvO65nu1Mictw.png"></Figure>

其中上、下两条曲线分别为 $y=-x^2+x$ 和 $y=x^2-x$。至于为什么可以这么转化，是因为如果作 $y$ 轴的平行线，被下面一条曲线和 $y=x$ 所截的线段正好是 $d(x)=x-x^2$ 的关系，而这个图形又是关于 $y=x$ 对称的。

<Figure src="/img/./docs/Science/cavalieri/JGibibkelET68EfhySWuOboVia7FJX8ehwIvhZefO4cHbMYoN8ELI5Dg5rNjMTCAtlArXQuNMQgJg7RBRGYyrTpCA.png"></Figure>

而计算由两个抛物线围成的图形的面积，就会方便很多——比如用穷竭法，积分法，甚至是抛物线与直线围成的面积的公式，等等（该公式可能会在以后的某篇文章中作推导）。

当然，原作的思路也非常简洁；但它是建立在该图形的特殊性上的。而通过对图形作等积变形转换成熟悉图形的思路，则可以应用于任意图形。

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还不仅如此，祖暅原理甚至可以应用于任意维度——无论是二维、三维，甚至更高维，都是适用的。而这个原理，竟在 1500 年前，便已由老祖宗提出，足见中华民族的智慧。同时，祖氏父子还利用此原理，成功计算出了球体体积公式，并用算筹这种极原始的工具做开方运算，把圆周率计算到了 3.1415926~3.1415927 的精度。所以，我们要继承先人的精神，更加努力地学习理科知识，继续为祖国理科事业的发展而奋斗。