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惯性导航基本原理

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一、惯导基本原理

惯性导航系统是利用惯性测量元件(陀螺、加速度计)测量载体相对惯性空间的角运动参数和线运动参数，在给定运动初始条件下，经导航解算得到载体速度、位置及姿态和航向的一种导航方法。

利用加速度计一次积分可以得到速度： $$ \left{\begin{array}{l}V_{E}=V_{E_{0}}+\int_{0}^{t} a_{E} d t \ V_{N}=V_{N_{0}}+\int_{0}^{t} a_{N} d t \ V_{U}=V_{U_{0}}+\int_{0}^{t} a_{U} d t\end{array}\right. $$ 速度再一次积分可以得到位置，想要得到经纬高，还要按照下图所示的几何关系做转化：

$$ \left\{\begin{array}{l}\lambda=\lambda_{0}+\int_{0}^{t} \frac{V_{E}}{(R+h) \cos \varphi} d t \\ \varphi=\varphi_{0}+\int_{0}^{t} \frac{V_{N}}{R+h} d t \\ h=h_{0}+\int_{0}^{t} V_{U} d t\end{array}\right. $$

可以看出：

• 东西向的速度改变经度、南北向的速度位移改变纬度

当然，上述的只是最简单的惯导原理，把地球当成了正球体，忽略了重力、离心力等对加速度计测量的影响，

二、地球形状和曲率半径

1、地球几何形状

• 梨形地球体：

• 大地水准面：以海平面为基准，并向大陆延伸而形成的封闭曲面

• 旋转椭球体：

2、垂线与纬度

• 地心垂线和地心纬度 $\phi_c$：地球表面某点到地球中心的连线。
• 引力垂线和引力纬度 $\phi_g$：地球表面某点所在质量受地球引力作用的方向线。
• 地理垂线和地理纬度 $\phi$：地球表面某点的法线。
• 重力垂线和重力纬度 $\phi_{ce}$：地球表面某点实际重力作用的方向线。

• 垂线偏差：地心纬度与地理纬度之间的偏差 $$ \begin{array}{l}\Delta \varphi=\varphi-\varphi_{c} \approx e \sin 2 \varphi \ \Delta \varphi_{\max } \approx 11^{\prime}\end{array} $$

• 垂线偏斜：实测重力与理论计算重力方向之间的不一致(重力异常)

3、地球曲率半径

加速度两次积分得到的是位移，需要根据几何关系把位移转化为经纬度；在第一节惯导基本原理中，我们是把地球当成正球，用地球半径来计算；实际上要想算的更精确，我们需要用子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径来算，它们可以由地球长半径和纬度推算出。

• 子午圈主曲率半径 $R_N$：确定纬度变化率 $$ R_{N} \approx R_{e}\left(1-2 e+3 e \sin ^{2} \varphi\right) $$

• 卯酉圈主曲率半径 $R_E$：确定经度变化率 $$ R_{E} \approx R_{e}\left(1+e \sin ^{2} \varphi\right) $$

结论：

• $R_{N} 、 R_{E}$ 在 $R_{e}$ 和 $e$ 一定时，仅与 $\varphi$ 有关；
• 在任意纬度上, 均有 $R_{E}>R_{N}$，它们是直角三角形斜边和直边的关系；
• 当扁率 $e=0$ 时，R_{N}=R_{E}=R_{e}$，地球为圆球体。

三、地球重力和自转角速度

• 重力：由地球质量和转动对地球表面物体产生的作用力，是地球引力与地球自转所起的离心力的矢量和。
• 重力加速度：单位质量物体受到的重。
• 引力：两个物体之间的万有引力。
• 引力加速度：单位质量物体受到的引力。
• 离心力
• 重力表达式
• 重力加速度的变化（国际椭球）
• 重力加速度的近似计算（1980*年国家大地坐标系）