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@rk-kit
rk-kit committed Feb 21, 2024
1 parent 4b1de01 commit 0987d52
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\section{[*] $\R^d$, Konvergenz im $\R^d$, die komplexen Zahlen $\C$ und der Raum $\C^d$}

\subsection{[*] Der Raum $\R^d$ und Normen}
\subsection{Der Raum $\R^d$ und Normen}

\thispagestyle{pagenumberonly}

Expand Down Expand Up @@ -324,7 +324,7 @@
Weisen Sie die Äquivalenz von $\norm{x}_1$ und $\norm{x}_\infty$ analog zu Beispiel~\ref{beispiel:norm-equiv} nach.
\end{uebung}

\subsection{[*] Konvergenz im $\R^d$}
\subsection{Konvergenz im $\R^d$}

\begin{bemerkung}[Abstand zwischen 2 Vektoren im $\R^d$]
Zu jeder Norm auf $\R^d$ (oder reellen Vektorräumen) definieren wir den Abstand von 2 Vektoren $x,y\in\R^d$ als $\norm{x-y}$.
Expand Down Expand Up @@ -378,15 +378,16 @@
\begin{definition}[Konvergenz im $\R^d$] % Definition 2
Sei $(x_n)_n$ eine Folge in $\R^d$ mit $x_n\in\R^d~\forall n$. Dann konvergiert $(x_n)_n$ gegen $x\in\R^d$, falls
\begin{alignat*}{2}
\forall\varepsilon > 0~\exists N\in\N\colon& \norm{x_1-x}_2 <\varepsilon\quad&&\forall n\geq N
\forall\varepsilon > 0~\exists N\in\N\colon& \norm{x_n-x}_2 <\varepsilon\quad&&\forall n\geq N
\intertext{Das heißt}
\forall\varepsilon > 0~\exists N\in\N\colon& x_n\in B_{\varepsilon}(x)\quad&&\forall n\geq N
\end{alignat*}
\end{definition}

\begin{beobachtung}[Konvergenz in $\R$ vs $\R^d$]
\begin{beobachtung}
\label{beobachtung:rd-konvergenz}
Es sei ${x_n}\in\R^d$ mit $x_n = \pair{x_n^1, x_n^2, \dots, x_n^d}$\footnote{Koordinaten von $(x_n)_n$}. Damit ergeben sich die Folgen $(x_n^1)_n$, $(x_n^2)_n$, \dots, $(x_n^d)_n$ in $\R$.
Angenommen $(x_n)_n$ konvergiert gegen $x\in\R^d$. Dann konvergieren alle Folgen $(x_n^l)_n$ in $\R$ und $\lim_{\ntoinf} x_n^l = x^l$
Angenommen $(x_n)_n$ konvergiert gegen $x\in\R^d$. Dann konvergieren alle Folgen $(x_n^l)_n$ in $\R$ und $\biglim{\ntoinf} x_n^l = x^l$

\begin{proof}
\begin{align*}
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\noindent Es gilt sogar die Umkehrung:

\begin{satz}[Konvergenz im $\R^d$]
\begin{satz}[Konvergenz in $\R$ und $\R^d$]
\label{satz:Rd-R-konvergenz}
Eine Folge $(x_n)_n$ in $\R^d$ konvergiert genau dann, wenn jede der Koordinatenfolge $(x_n^l)_n$ in $\R$ konvergiert $\forall l=1,\dots, d$.

\begin{proof}
~\\\anf{$\impl$} Gerade gezeigt.\\
\theoremescape
\anf{$\impl$} Siehe Beobachtung~\ref{beobachtung:rd-konvergenz}.\\
\anf{$\Leftarrow$} Angenommen
\begin{align*}
\exists x^l &\definedas \lim_{\ntoinf} x^l_n\quad\forall l=1,\dots, d\\
\impl \abs{x_n^l - x^l} &\fromto 0 \text{ für }\ntoinf\quad\forall l=1,\dots, d\colon\\
\begin{alignat*}{3}
\exists x^l &\definedas \lim_{\ntoinf} x^l_n\quad&&\forall l=1,\dots, d\\
\impl \abs{x_n^l - x^l} &\fromto 0 \text{ für }\ntoinf\quad&&\forall l=1,\dots, d\\
\intertext{Das heißt}
\forall\varepsilon > 0~\exists N_l\in\N\colon \abs{x_n^l - x^l} &< \frac{\varepsilon}{\sqrt{d}}\quad\forall n\geq N_{l}
\intertext{Wir definieren}
N&\definedas\max\pair{N_1, N_2, \dots, N_d}
\intertext{Dann gilt $\forall n>N$}
\norm{x_n-x}^2_2 &= \sum_{j=1}^{d} \abs{x_n^j - x^j}^2 < \sum_{j=1}^{d} \pair{\frac{\varepsilon}{\sqrt{d}}}^2\\
\forall\varepsilon > 0~\exists N_l\in\N&\colon \abs{x_n^l - x^l} < \frac{\varepsilon}{\sqrt{d}}\quad&&\forall n\geq N_{l}
\intertext{Wir definieren $N\definedas\max\pair{N_1, N_2, \dots, N_d}$. Dann gilt}
\norm{x_n-x}^2_2 &= \sum_{j=1}^{d} \abs{x_n^j - x^j}^2 < \sum_{j=1}^{d} \pair{\frac{\varepsilon}{\sqrt{d}}}^2\quad&&\forall n\geq N\\
&= d\cdot\frac{\varepsilon^2}{d} = \varepsilon^2\\
\impl \norm{x_n-x}_2 &< \varepsilon\quad\forall n\geq N
\impl \norm{x_n-x}_2 &< \varepsilon\quad&&\forall n\geq N
\intertext{Wir definieren den Grenzwert}
x&\definedas (x^1, x^2, \dots, x^d)\quad x^j\definedas \lim_{\ntoinf} x_n^j\qedhere
\end{align*}
x&\definedas (x^1, x^2, \dots, x^d)\\
x^j&\definedas \lim_{\ntoinf} x_n^j&&&\qedhere
\end{alignat*}
\end{proof}
\end{satz}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 19. Dezember 2023
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{bemerkung}
\begin{bemerkung}[Reihen im $\R^d$]
\marginnote{[19. Dez]}
Sei $(a_n)_n\in\R^d$ mit $a_n = \pair{a_n^1, a_n^2, \dots, a_n^d}$. Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = ??$. Wir betrachten die Partialsummen
Sei $(a_n)_n\sbset\R^d$ mit $a_n = \pair{a_n^1, a_n^2, \dots, a_n^d}$. Wie können wir die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ dann definieren?. Wir betrachten die Partialsummen
\begin{align*}
s_n &\definedas \sum_{j=1}^{n} a_j
\end{align*}
und können damit die Konvergenz definieren.
\end{bemerkung}

\begin{definition}
$\sum_{n} a_n$ konvergiert, falls $(s_n)_n$ im $\R^d$ konvergiert
\begin{definition}[Konvergenz von Reihen im $\R^d$]
Die Reihe $\sum_{n} a_n$ konvergiert, falls die Folge der Partialsummen $(s_n)_n$ im $\R^d$ konvergiert.
\end{definition}

\begin{satz}[Cauchy-Kriterium für Konvergenz im $\R^d$]
Eine Folge $(x_n)_n$ ist genau dann im $\R^d$ konvergent, wenn $(x_n)_n$ eine Cauchy-Folge ist. Das heißt
\label{satz:cauchy-Rd}
Eine Folge $(x_n)_n$ ist genau dann in $\R^d$ konvergent, wenn $(x_n)_n$ eine Cauchy-Folge ist. Das heißt
\begin{align*}
\forall\varepsilon > 0~\exists N\in\N\colon \norm{x_n-x_m}_2 < \varepsilon\quad\forall n,m\geq N
\end{align*}

\begin{proof}
\anf{$\impl$} Wie im Fall $\R$.\\
\anf{$\Leftarrow$} Sei $(x_n)_n$ Cauchy-Folge.
\anf{$\impl$}: Wie im Fall $\R$.\\
\anf{$\Leftarrow$}: Sei $(x_n)_n$ Cauchy-Folge. Dann sind alle Koordinaten $(x_n^j)_n$ Cauchy-Folgen in $\R$, weil
\begin{align*}
\impl\text{ Alle Koordinaten } &(x_n^j)_n\text{ sind Cauchy-Folgen in }\R\text{, weil}\\
\abs{x_n^j-x_m^j} &= \sqrt {\abs{x_n^j-x_m^j}^2} \leq \sqrt {\sum_{l=1}^{d} \abs{x_n^l - x_m^l}^2}\\
&= \norm{x_1-x_m}_2\\
\abs{x_n^j-x_m^j} = \sqrt {\abs{x_n^j-x_m^j}^2} &\leq \sqrt {\sum_{l=1}^{d} \abs{x_n^l - x_m^l}^2} = \norm{x_1-x_m}_2\\
\impl x_n &\definedas \lim_{\ntoinf} x_n^j\text{ existiert}\\
\impl x &= \lim_{\ntoinf} x_n\text{ existiert}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\end{satz}

\begin{proof}[2. Beweis]
Wir wollen Satz~\ref{satz:bolzano-weierstrass} im $\R^d$ zeigen:
Jede beschränkte Folge $(x_n)_n$ in $\R^d$ besitzt eine konvergente Teilfolge. ($(x_n)_n$ ist beschränkt, wenn $\exists R\geq 0\colon \norm{x_n}_2 \leq R~\forall n\in\N$ .Bzw., wenn $x_n\in\set{y\in\R^d \middle|~ \norm{y}_2 \leq R}$ (abgeschlossene Kugel mit Radius $R$ um 0).).\\
\begin{beobachtung}[Bolzano-Weierstraß im $\R^d$]
Wir wollen Satz~\ref{satz:bolzano-weierstrass} im $\R^d$ zeigen:
Jede beschränkte Folge $(x_n)_n$ in $\R^d$ besitzt eine konvergente Teilfolge. Wir sagen $(x_n)_n$ ist im $\R^d$ beschränkt, wenn
\begin{align*}
\exists R\geq 0\colon \norm{x_n}_2 \leq R\quad\forall n\in\N\\
\text{bzw.} \quad x_n\in\set{y\in\R^d \middle|~ \norm{y}_2 \leq R}
\end{align*}
\begin{proof}
\begin{align*}
\impl \forall j=1,\dots, d\colon (x_n^j)_n\text{ beschränkte Folge im }\R^d\\
\impl \exists\text{ Teilfolge } (x_n^1)_k\text{ von } (x_n^1)_n\text{, welche in }\R\text{ konvergiert}\\
\impl \text{ Ausdünnung }\sigma: \N\fromto\N\text{ mit } \sigma(k) < \sigma(k+1)\\
n_k \definedas \sigma(k)\quad\text{Existenz des Grenzwert} x_1 \definedas \lim_{\ntoinf} x_{\sigma(k)}
\intertext{Genauso für $\lim (x^2_n)_n$}
\annot{\impl}{\ref{satz:bolzano-weierstrass}} \exists \kappa\colon \N\fromto\N\colon (x^2_{\kappa(k)})_k\text{ konvergent}
\intertext{Catch: $(x^1_{\sigma(k)}, x^2_{\sigma(k)})_k$ ist im Allgemeinen keine Teilfolge von $(x^1_n, x^2_n)_n$. Lösung betrachte}
\pair{x_{\sigma(k)}}_k\text{ Teilfolge von }(x_n)_n\\
= \pair{x^1_{\sigma(k)}, x^2_{\sigma(k)}, x^3_{\sigma(k)}, \dots, x^d_{\sigma(k)}, }
\forall j=1,\dots, d\colon &(x_n^j)_n\text{ beschränkte Folge}\\
\impl \exists\text{ Teilfolge } &(x_n^1)_k\text{ von } (x_n^1)_n\text{, welche in }\R\text{ konvergiert}
\intertext{Das heißt es gibt eine Ausdünnung $\sigma: \N\fromto\N$ mit $\sigma(k) < \sigma(k+1)$. Dann existiert der Grenzwert}
x_1 &\definedas \lim_{\ntoinf} x_{\sigma(k)}
\intertext{Genauso für $(x^2_n)_n$}
\annot{\impl}{\ref{satz:bolzano-weierstrass}} \exists \kappa\colon \N\fromto\N\colon &(x^2_{\kappa(k)})_k\text{ konvergent}
\intertext{Catch: $(x^1_{\sigma(k)}, x^2_{\kappa(k)})_k$ ist im Allgemeinen keine Teilfolge von $(x^1_n, x^2_n)_n$. Lösung: Betrachte}
\pair{x_{\sigma(k)}}_k\text{ Teilfolge von }&(x_n)_n = \pair{x^1_{\sigma(k)}, \dots, x^d_{\sigma(k)}}
\intertext{Mache mit $(x^2_{\sigma(k)})_k$ weiter}
\annot{\impl}{\ref{satz:bolzano-weierstrass}} \exists\text{ konvergente Teilfolge von } (x^2_{\sigma(k)})_k\\
\impl\text{ Ausdünnung } \sigma_2: \N\fromto\N\\
\impl \pair{x^2_{\sigma(\sigma_2(k))}}_k\text{ konvergent}\\
x_2 \definedas \sigma \circ \sigma_{2}\\
\impl\text{ Neue Teilfolge } (x_{\kappa_{2}(k)}) = (x^1_{\kappa_{2}(k)},x^2_{\kappa_{2}(k)},x^3_{\kappa_{2}(k)},\dots, x^d_{\kappa_{2}(k)})
\intertext{mit $\lim_{k\fromto\infty} x^1_{\kappa_{2}(k)}$ und $\lim_{k\fromto\infty} x^2_{\kappa_{2}(k)}$ existent}
\annot{\impl}{\ref{satz:bolzano-weierstrass}} \exists\text{ konvergente} &\text{ Teilfolge von } (x^2_{\sigma(k)})_k\\
\intertext{Wir erhalten eine Ausdünnung $\sigma_2: \N\fromto\N$}
\impl &\pair{x^2_{\sigma(\sigma_2(k))}}_k\text{ konvergent}\\
\kappa_2 &\definedas \sigma \circ \sigma_{2}\\
\impl\text{ Neue Teilfolge } &(x_{\kappa_{2}(k)}) = (x^1_{\kappa_{2}(k)},\dots, x^d_{\kappa_{2}(k)})
\end{align*}
Mache induktiv so weiter, nach maximal $d$ Schritten sind wir fertig.\\
Jede Cauchy-Folge in $\R^d$ ist beschränkt.
\begin{proof}
\begin{align*}
\varepsilon = 1\\
\impl \exists N\colon\norm{x_n-x_m}_2 \leq 1\quad\forall n,m\geq N\\
\impl \norm{x_n}_2 = \norm{x_n-x_N+x_N}_2 \leq \norm{x_n-x_N}_2 + \norm{x}_2\quad\forall n\geq N\\
< 1 + \norm{x_n}\\
\impl \norm{x}_2 \leq \max\pair{\norm{x_1}_2, \norm{x_2}_2,\dots\norm{x_{N-1}}_2, 1+\norm{x_N}_2}
\end{align*}
\end{proof}
Auch: Eine Cauchy-Folge im $\R^d$ ist genau dann konvergent, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt. (Beweis wie im Fall $d=1$).\\
Alle bisherigen Konvergenz-Sätze, welche nicht die Anordnung im $\R$ benötigen, übertragen sich auf $\R^d$.\\
Insbesondere: Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist absolut konvergent, falls $\sum_{n=1}^{\infty} \norm{a_n}_2 < \infty$.\\
Ist eine Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ in $\R^d$ konvergent, so konvergieren alle Umordnungen gegen den selben Wert. Und es gilt die Umkehrung! (Satz von Direcklet in $\R^d$)
Für die Teilfolge existieren $\biglim{k\fromto\infty} x^1_{\kappa_{2}(k)}$ und $\biglim{k\fromto\infty} x^2_{\kappa_{2}(k)}$. Wir machen induktiv so weiter, nach maximal $d$ Schritten sind wir fertig.
\end{proof}
\end{satz}
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}[Beschränktheit von Cauchy-Folgen im $\R^d$]
Jede Cauchy-Folge in $\R^d$ ist beschränkt.
\begin{proof}
Sei $\varepsilon = 1$
\begin{align*}
\impl \exists N\colon\norm{x_n-x_m}_2 &\leq 1\quad\forall n,m\geq N\\
\impl \forall n,m\geq N\colon \norm{x_n}_2 &= \norm{x_n-x_N+x_N}_2\\
&\leq \norm{x_n-x_N}_2 + \norm{x_N}_2 < 1 + \norm{x_N}\\
\impl \norm{x}_2 &\leq \max\pair{\norm{x_1}_2, \norm{x_2}_2,\dots\norm{x_{N-1}}_2, 1+\norm{x_N}_2}\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\end{beobachtung}

\begin{bemerkung}
Außerdem gilt: Eine Cauchy-Folge im $\R^d$ ist genau dann konvergent, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt. (Beweis wie im Fall $d=1$).\\
Alle bisherigen Konvergenz-Sätze, welche keine Anordnung benötigen, übertragen sich auf $\R^d$.\\
Insbesondere: Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist absolut konvergent, falls $\sum_{n=1}^{\infty} \norm{a_n}_2 < \infty$.\\
Ist eine Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ in $\R^d$ absolut konvergent, so konvergieren alle Umordnungen gegen den selben Wert. Und es gilt die Umkehrung! (Satz von Dirichlet in $\R^d$)
\end{bemerkung}

\subsection{[*] Die Komplexen Zahlen}
\subsection{[*] Die Komplexen Zahlen $\C$}

Was sind die komplexen Zahlen?\\
$x^2+1$ ist nie Null $\forall x\in\R$. Wir definieren eine Zahl $i$ mit $i^2=-1$.\\
Schreiben $x+iy$ mit $x,y\in\R$.
$x^2+1$ ist nie Null $\forall x\in\R$. Wir definieren eine Zahl $i$ mit $i^2=-1$ und schreiben $x+iy$ mit $x,y\in\R$. Dann ergeben sich folgende Rechenregeln:
\begin{align*}
(x_1 + y_1\cdot i)
\cdot (x_2 + y_2\cdot i) &= x_1\cdot x_2 + x_1\cdot i\cdot y_2 + i\cdot y_1 \cdot x_2 + (i\cdot y_1)\cdot(i\cdot y_2)\\
\cdot (x_2 + y_2\cdot i) &= x_1\cdot x_2 + x_1\cdot y_2\cdot i + y_1 \cdot x_2 \cdot i + y_1\cdot y_2\cdot i^2\\
&= x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2 + \pair{x_1\cdot y_2 + y_1\cdot x_2}\cdot i\\
(x_1+y_1\cdot i) + (x_2 + y_2\cdot i) &= x_1 + x_2 + \pair{y_1+y_2}\cdot i
\end{align*}
Betrachte $\R^2 = \set{(x,y) \middle|~ x,y\in\R}$.
% Visualisierung: Eukldische Ebene
\begin{align*}
z &= (x,y)\\
z_1 + z_2 &\definedas (x_1, y_1) + (x_2,y_2)\\
&\definedas (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
\intertext{Wir definieren eine \anf{seltsame} Multiplikation}
z_1 \cdot z_2 &\definedas (x_1, y_1)\cdot (x_2, y_2)\\
&= \definedas \pair{x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1}
\intertext{Wir definieren den Betrag}
\abs{z} &\definedas\text{ Länge des Vektors } (x,y) = \sqrt {x^2+y^2}\\
\intertext{Wir nennen}
x&= \text{ Realteil von } z\\
y&= \text{ Imaginärteil von } z\\
\end{align*}

Man rechnet einfach nach, dass Multiplikation und Addition Assoziativität, Kommutativität und Distributivität erfüllen.
\begin{definition}[Rechenregeln von Komplexen Zahlen]
Wir betrachten die euklidische Ebene $\R^2 \definedas \set{(x,y) ~\middle|~ x,y\in\R}$.
\begin{align*}
z &= (x,y)\in\R^2\\
z_1 + z_2 &\definedas (x_1, y_1) + (x_2,y_2)\\
&\definedas (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
\intertext{Wir definieren eine \anf{seltsame} Multiplikation}
z_1 \cdot z_2 &\definedas (x_1, y_1)\cdot (x_2, y_2)\\
&\definedas \pair{x_1 x_2 - y_1 y_2,~x_1 y_2 + x_2 y_1}
\intertext{Wir definieren den Betrag}
\abs{z} &\definedas\text{ Länge des Vektors } (x,y) = \sqrt {x^2+y^2}\\
\intertext{Wir nennen}
x&: \text{ Realteil von } z\\
y&: \text{ Imaginärteil von } z\\
\end{align*}
\end{definition}

\begin{visualisierung}[Euklidische Ebene]
\theoremescape
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,3);
\end{tikzpicture}
\caption{}
\end{figure}
\end{visualisierung}

\begin{bemerkung}
Man rechnet einfach nach, dass Multiplikation und Addition die Assoziativität, Kommutativität und Distributivität erfüllen. (Übung)\\
Außerdem lässt sich zeigen, dass $(1,0)$ das neutrale Element der Multiplikation ist:
\begin{align*}
(1,0)
\cdot (1,0) &= (1,0)\\
z\cdot (1,0) &= (x,y)\cdot(1,0)= (x,y) = z
\end{align*}
\end{bemerkung}

\begin{align*}
(1,0)
\cdot (1,0) &= (1,0)\\
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